Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，過點P向x軸作垂線，垂足為H，若|PH|=a，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}+1}}{2}$

Answer 1

分析 運用雙曲線的定義和直徑所對的圓周角為直角，運用勾股定理，化簡可得|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²，再由三角形的等積法，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，①
由直徑所對的圓周角為直角，可得PF₁⊥PF₂，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²，
即有|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²，
由三角形的面積公式可得，$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PH|•|F₁F₂|，
即有2c²-2a²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$可得，e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（負的舍去）．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直徑所對的圓周角為直角，以及雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．