Question

1．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，集合B={y|y=x²-4x+a}，集合C={x|x²-ax-4≤0}．命題p：A∩B≠?；命題q：A∩C=A．
（1）若命題p為假命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題p且q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A、B，根據(jù)A∩B=Φ，求出a的范圍即可；
（2）分別求出p，q為真時的a的范圍，取交集即可．

解答 解：（1）∵A={x|x²-3x+2≤0}，B={y|y=x²-4x+a}，
∴A=[1，2]，B=[a-4，+∞），---------------------------4分
若p為假命題，則A∩B=Φ，故a-4＞2，即a＞6．-------------------------7分
（2）命題p為真，則a≤6．------------------------------8分
命題q為真，即轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=x²-ax-4≤0恒成立，--------10分
（解法1）則$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1-a-4≤0\\ f（2）=4-2a-4≤0\end{array}$解得a≥0．--------------------------13分
{（解法2）當(dāng)x∈[1，2]時，a≥x-$\frac{4}{x}$恒成立，而x-$\frac{4}{x}$在[1，2]上單調(diào)遞增，故a≥（x-$\frac{4}{x}$）_max=0．------------------13分  }
故實數(shù)a的取值范圍是[0，6]．-------------------------15分．

點評 本題考查了集合的運算性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．