Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
（1）求f（

π

6

）的值
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)f（x），再由特殊角的三角函數(shù)值即可得到（1）；再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到（2）；再由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求值域．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）．
（1）f（

π

6

）=2sin（

2π

6

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

），k∈Z；
（3）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，
得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
即有sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查二倍角的正弦和余弦公式及兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．