Question

已知圓A：x²+y²-2x-2y-2=0．
（1）若直線l：ax+by-4=0平分圓A的周長(zhǎng)，求原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值； 
（2）若圓B平分圓A的周長(zhǎng)，圓心B在直線y=2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）若直線l：ax+by-4=0平分圓A的周長(zhǎng)，則l經(jīng)過(guò)圓心，即a+b-4=0，此時(shí)原點(diǎn)O到直線l的距離d=

4

a2+b2

．故當(dāng)a=2時(shí)，d取最大值．
（2）由題意知圓B與圓A的相交弦為圓A的一條直徑，設(shè)圓B的圓心為B（a，2a），半徑為R．由垂徑定理可得當(dāng)a=

3

5

時(shí)，R²取得最小值，此時(shí)圓B符合條件．

解答： 解：（1）圓A的方程即（x-1）²+（y-1）²=4，其圓心為A（1，1），半徑為r=2．
由題意知直線l經(jīng)過(guò)圓心A（1，1），
所以a+b-4=0，得b=4-a．
原點(diǎn)O到直線l的距離d=

4

a2+b2

．
因?yàn)閍²+b²=a²+（4-a）²=2（a-2）²+8，
所以當(dāng)a=2時(shí)，a²+b²取得最小值8．
故d的最大值為

4

8

=

2

．

（2）由題意知圓B與圓A的相交弦為圓A的一條直徑，它經(jīng)過(guò)圓心A．
設(shè)圓B的圓心為B（a，2a），半徑為R．如圖所示，在圓B中，
由垂徑定理并結(jié)合圖形可得：R²=2²+|AB|²=4+（a-1）²+（2a-1）²=5（a-

3

5

）²+

21

5

．
所以當(dāng)a=

3

5

時(shí)，R²取得最小值

21

5

．
故符合條件且半徑最小的圓B的方程為（x-

3

5

）²+（y-

6

5

）²=

21

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．