Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n是2a與-2na_n的等差中項，其中a≠0．
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃，并猜想數(shù)列的通項公式；
（2）利用（1）的猜想，若S₁₀=90，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）因為S_n是2a與-2na_n的等差中項，則S_n=a-na_n，由此求數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃，并猜想數(shù)列的通項公式；
（2）若S₁₀=90，即S₁₀=a-10a₁₀=90，即可求實數(shù)a的值．

解答 解：（1）因為S_n是2a與-2na_n的等差中項，則S_n=a-na_n，…（2分）
由a₁=a-a₁，∴a₁=$\frac{a}{2}$；
由a₁+a₂=a-2a₂，∴a₂=$\frac{a}{2×3}$；
由a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a₃=$\frac{a}{3×4}$；…（5分）
故猜想a_n=$\frac{a}{n（n+1）}$． （寫出結(jié)果即可）…（7分）
（2）若S₁₀=90，即S₁₀=a-10a₁₀=90，…（10分）
解得a=99…（12分）

點評 本題考查的知識點是數(shù)列的求和以及歸納推理的常用法，屬于中檔題．在歸納中要注意項和序號之間的對應(yīng)關(guān)系．