Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A、B兩點（A點位于x軸上方），若△AOF的面積為3$\sqrt{3}$，則p=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 寫出直線AB的方程，聯(lián)立方程組解出A點坐標，根據(jù)面積列方程解出p．

解答 解：拋物線的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
解得x₁=$\frac{p}{6}$，x₂=$\frac{3p}{2}$．
∵A點在x軸上方，∴A（$\frac{3p}{2}$，$\sqrt{3}p$）．
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}•\sqrt{3}p$=3$\sqrt{3}$，解得p=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．