Question

19．已知過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，斜率為$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=6．
（Ⅰ）求該拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩點(diǎn)A，B，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式列方程解出p；
（II）對直線l是否有斜率進(jìn)行討論，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出|y₁-y₂|，得出面積關(guān)于斜率k的函數(shù)，綜合兩種情況得出面積的最小值．

解答 解：（I）拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），∴直線AB的方程為：y=$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：x²-2px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=2p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{4{p}^{2}-{p}^{2}}$=6，
解得p=2．
∴拋物線C的方程為：y²=4x．
（II）當(dāng)直線l無斜率時(shí)，直線l的方程為x=1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得A（1，-2），B（1，2）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×AB$=2．
當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)直線l方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得：y²-$\frac{4}{k}y$-4=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+4}$＞2．
綜上，△AOB面積的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．