Question

2．已知拋物線x²=2py（p＞0），O是坐標原點，點A，B為拋物線C₁上異于O點的兩點，以O(shè)A為直徑的圓C₂過點B．
（I）若A（-2，1），求p的值以及圓C₂的方程；
（Ⅱ）求圓C₂的面積S的最小值（用p表示）

Answer 1

分析 （I）把A代入拋物線方程即可求出p，計算OA的中點及|OA|得出圓的圓心和半徑，從而得出圓的方程；
（II）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），根據(jù)$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0得出x₁，x₂的關(guān)系，利用基本不等式求出|OA|²的最小值，從而得出圓C₂的最小面積．

解答 解：（I）∵A（-2，1）在拋物線x²=2py上，∴4=2p，即p=2．
∴圓C₂的圓心為（-1，$\frac{1}{2}$），半徑r=$\frac{|OA|}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴圓C₂的方程為（x+1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
（II）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），則$\overrightarrow{OB}$=（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2p}$）．
∵OA是圓C₂的直徑，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0，即x₂（x₂-x₁）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{4{p}^{2}}$=0，
∵x₂≠0，x₁≠x₂，∴x₂²+x₁x₂=-4p²．∴x₁=-（x₂+$\frac{4{p}^{2}}{{x}_{2}}$）．
∴x₁²=x₂²+$\frac{16{p}^{4}}{{{x}_{2}}^{2}}$+8p²≥16p²．當且僅當x₂²=$\frac{16{p}^{4}}{{{x}_{2}}^{2}}$即x₂²=4p²時取等號．
∴|OA|²=x₁²+$\frac{{{x}_{1}}^{4}}{4{p}^{2}}$≥16p²+$\frac{256{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=80p²．
∴圓C₂的面積S=π•$\frac{|OA{|}^{2}}{4}$≥20πp²．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，向量的應(yīng)用，屬于中檔題．