【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)又恰為拋物線的焦點(diǎn),以為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn).

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若直線相交于,兩點(diǎn),記點(diǎn)到直線的距離分別為,.直線相交于兩點(diǎn),記的面積分別為,

(。┳C明:的周長為定值;

(ⅱ)求的最大值.

【答案】1;(2)(i)詳見解析;(ii

【解析】

1)由已知求得,可得,又以為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn),知,從而求得的值,則答案可求;

2由題意,為拋物線的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知,,結(jié)合,可知等號當(dāng)且僅當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)成立.可得直線過定點(diǎn),根據(jù)橢圓定義即可證明為定值;

若直線的斜率不存在,則直線的方程為,求出可得;若直線的斜率存在,可設(shè)直線方程為,,,,,,方便聯(lián)立直線方程與拋物線方程,直線方程與橢圓方程,利用弦長公式求得,,可得,由此可求的最大值.

解:(1)因?yàn)?/span>為拋物線的焦點(diǎn),故

所以

又因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn)知:

所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

2)(。┯深}知,因?yàn)?/span>為拋物線的準(zhǔn)線

由拋物線的定義知:

又因?yàn)?/span>,等號當(dāng)僅當(dāng),三點(diǎn)共線時(shí)成立

所以直線過定點(diǎn)

根據(jù)橢圓定義得:

(ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的方程為

因?yàn)?/span>,,所以

若直線的斜率存在,則可設(shè)直線,設(shè),

得,

所以,

設(shè),,

得,

,

所以

綜上知:的最大值等于

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(Ⅰ)若某位顧客消費(fèi)300元,求返券金額不低于30元的概率;

(Ⅱ)若某位顧客恰好消費(fèi)600元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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對快遞滿意

對快遞不滿意

合計(jì)

對商品滿意

80

對商品不滿意

合計(jì)

200

2)為進(jìn)一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從200次交易中抽取10次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳細(xì)了解滿意與否的具體原因,并在這10次交易中再隨機(jī)抽取2次進(jìn)行電話回訪,聽取購物者意見.求電話回訪的2次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.

附:(其中為樣本容量)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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