Question

下列命題；
①當(dāng)?x＞1時(shí)，lgx+

1

lgx

≥2；
②m+1＞n是m＞n成立的充分不必要條件；
③函數(shù)y=a^x的圖象可以由函數(shù)y=4a^x（其中a＞0且a≠1）平移得到；
④對(duì)于任意△ABC角A，B，C滿足：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA；
⑤定義：如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱y=f（x）為“三角形型函數(shù)”．函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“三角形型函數(shù)”．
其中正確命題的序嗎為

 

．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由基本不等式可得命題的正誤；
②根據(jù)充分、必要條件的定義判斷命題的正誤；
③根據(jù)針線定理化簡(jiǎn)的式子，結(jié)合余弦定理得到所求證的等式成立；
④要利用“三角形型函數(shù)”的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和三邊的關(guān)系，證明函數(shù)h（x）=lnx （x∈[2，+∞））是三角形型函數(shù)即可．

解答： 解：①當(dāng)x＞1時(shí)lgx＞0，則lgx+

1

lgx

≥2

lgx• 1 lgx

=2成立，①正確；
②m+1＞n是m＞n成立，反之不成立，所以m+1＞n是m＞n成立的必要不充分條件，②錯(cuò)誤；
③函數(shù)y=a^x的圖象可以由函數(shù)y=4a^x（其中a＞0且a≠1）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到，③錯(cuò)誤；
④由正弦定理化簡(jiǎn)sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，得a²=b²+c²-2bccosA，
由余弦定理可知結(jié)論成立，④正確；
④設(shè)一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因?yàn)閍≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，則ln（ab）＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．
故函數(shù)h（x）=lnx （x∈[2，+∞）），是“三角形型函數(shù)”，④正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假判斷與應(yīng)用，充要條件的判定，不等式的性質(zhì)，以及解三角的有關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握每個(gè)命題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，比較綜合．