Question

【題目】一個(gè)有限整數(shù)數(shù)列稱為一個(gè)“好數(shù)列”，是指對(duì)每個(gè)均使得等式成立.證明：對(duì)任何兩個(gè)整數(shù)，都存在一個(gè)自然數(shù)和一個(gè)“好數(shù)列”，滿足.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由題設(shè)有.

故.

設(shè)， 只須證：

對(duì)任何整數(shù)， 存在自然數(shù)，可以在形如中的“（ ）”內(nèi)適當(dāng)填上“+”或“-”，使其等于.

由于對(duì)任意自然數(shù)，有，

.

故對(duì)于中任意連續(xù)4項(xiàng)，可適當(dāng)填上“+”或“-”，使其等于4或- 4.

下面分 4 種情形討論.

（1）時(shí)， 取，顯然滿足要求.（另，因限制，則可取，使前4項(xiàng)和為4，后4項(xiàng)和為-4.）

（2）時(shí)，取，在填“+”，而使后面的項(xiàng)和為，此時(shí)，項(xiàng)和為.

（3）時(shí)，取，使前4項(xiàng)和為，后面項(xiàng)和為，此時(shí)，項(xiàng)和為.

（4）時(shí)，取，在前填“－”，而使后面的項(xiàng)和為，此時(shí)，項(xiàng)和為.

綜上所述，所證命題成立.