Question

由原點O向三次曲線y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切線，切于不同于點O的點P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲線的切線，切于不同于P₁的點P₂（x₂，y₂），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點列{P_n（x_n，y_n）}，試回答下列問題：
（1）求x₁；
（2）求x_n與x_n+1的關(guān)系；
（3）若a＞0，求證：當n為正偶數(shù)時，x_n＜a；當n為正奇數(shù)時，x_n＞a．

Answer 1

分析：（1）向三次曲線y=x³-3ax²+bx （a≠0），對其進行求導，求出切線l₁的方程，根據(jù)其過點（0，0），可以求出x₁；
（2）根據(jù)導數(shù)與直線的斜率的關(guān)系，再求點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程，這個切線方程過點P_n（x_n，y_n），代入可得x_n與x_n+1的關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）已知的x_n與x_n+1的關(guān)系，遞推關(guān)系，將其湊為等比數(shù)列，其實n分為奇偶，從而進行證明；

解答：解：（1）由y=x³-3ax²+bx…①，得y′=3x²-6ax+b
過曲線①上的點P（x₁，y₁）的切線l₁的方程是
y-（

x

3 1

-3a

x

2 1

+bx₁）=（3

x

2 1

-6ax₁+b）（x-x₁），（x₁≠0）
由它過原點，有-

x

3 1

+3a

x

3 1

-bx₁=-x₁（3

x

2 1

-6ax₁+b），
2

x

3 1

=3a

x

2 1

（x₁≠0），∴x₁=

3a

2

；
（2）過曲線①上點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程是，
y-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x-x_n+1），
由l_n+1過曲線①上點P_n（x_n，y_n），有

x

3 n

-3a

x

2 n

+bx_n-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x_n-x_n+1），
∵x_n-x_n+1≠0，以x_n-x_n+1除上式，得

x

2 n

+x_nx_n+1+

x

2 n+1

-3a（x_n+x_n+1）+b=3x²_n+1-6ax_n+1+b，

x

2 n

+x_nx_n+1-2

x

2 n+1

-3a（x_n-x_n+1）=0，以x_n-x_n+1除之，得
x_n+2x_n+1-3a=0，
（3）由（2）得xn+1=-

1

2

xn+

3

2

a，
∴xn+1-a=-

1

2

(xn-a)．
故數(shù)列{x _n-a}是以x ₁-a=

a

2

為首項，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．
∵a＞0，
∴當n為正偶數(shù)時，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1-(

1

2

)n]a＜a；
當n為正奇數(shù)時，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1+(

1

2

)n]a＞a．

點評：此題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，難度有些大，還考查導數(shù)與直線斜率的關(guān)系，還考查分類討論的思想，考查的知識點比較多，是一道難題；