Question

17．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sinB=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（Ⅰ）求角C
（Ⅱ）設(shè)a=$\sqrt{10}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)求角C即可．
（Ⅱ）a=$\sqrt{10}$，利用正弦定理求出b，然后求△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且$cosA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…（2分）
∵sinA＞$sinB=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$∴A＞B，
$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{10}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（4分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（6分）
A+B=45°∴C=135°…（8分）
（Ⅱ）∵$a=\sqrt{10}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得$b=a×\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{10}×\frac{{\frac{{\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}=\sqrt{5}$…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{5}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．