Question

14．直線y=k（x+2）-1恒過定點A，且點A在直線$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0）上，則2m+n的最小值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 直線y=k（x+2）-1恒過定點A（-2，-1），把點A代入直線$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0），可得：$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=8．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：直線y=k（x+2）-1恒過定點A（-2，-1），
把點A代入直線$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0），可得：$\frac{-2}{m}$-$\frac{1}{n}$+8=0，化為$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=8．
則2m+n=（2m+n）×$\frac{1}{8}$$（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{8}$$（5+\frac{2n}{m}+\frac{2m}{n}）$≥$\frac{1}{8}（5+2×2\sqrt{\frac{m}{n}×\frac{n}{m}}）$=$\frac{9}{8}$，當且僅當m=n=$\frac{8}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了直線過定點問題、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．