Question

15．給出下列四個(gè)命題：①若α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）且α＜β，則sinα＞sinβ；②若α∈（0，$\frac{π}{4}$），則cosα＞sinα；③若α∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinα+cosα＞1；④若α∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinα＜α＜tanα，以上四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）的圖象，判斷②③④正確．

解答 解：由正弦函數(shù)圖象在（0，$\frac{π}{2}$）函數(shù)單調(diào)遞增，α＜β，
sinα＜sinβ，①錯(cuò)；
對(duì)于②由函數(shù)圖象可知，若α∈（0，$\frac{π}{4}$），則cosα＞sinα；
故②正確；
③α∈（0，$\frac{π}{2}$），
則sinα+cosα=$\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}$=$\sqrt{1+2sinαcosα}$＞1，
故③正確；
對(duì)于④tanα=$\frac{sinα}{cosα}$，0＜cosα＜1，
∴tanα＞sinα，
∴sinα＜α＜tanα．
故④正確，
因此②③④正確，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．