Question

某機(jī)械廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品被測(cè)試指標(biāo)大于或等于90為優(yōu)等次，大于或等于80小于90為良等次，小于80為差等次．生產(chǎn)一件優(yōu)等次產(chǎn)品盈利100元，生產(chǎn)一件良等次產(chǎn)品盈利60元，生產(chǎn)一件差等次產(chǎn)品虧損20元．現(xiàn)隨機(jī)抽出高級(jí)技工甲和中級(jí)技工乙生產(chǎn)的這種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

測(cè)試指標(biāo)	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
甲	3	7	20	30	25	15
乙	5	15	23	27	20	10

根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)得到甲、乙兩人生產(chǎn)這種產(chǎn)品為優(yōu)、良、差等次的頻率，現(xiàn)分別作為他們每次生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的等次互不受影響．
（1）計(jì)算高級(jí)技工甲生產(chǎn)三件產(chǎn)品，至少有2件優(yōu)等品的概率；
（2）甲、乙各生產(chǎn)一件產(chǎn)品給工廠帶來的利潤(rùn)之和記為X元（利潤(rùn)=盈利-虧損）．求隨機(jī)變量X的頻率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）高級(jí)技工甲生產(chǎn)三件產(chǎn)品，至少有2件優(yōu)等品有兩種情況：恰有2件優(yōu)等品或3件都是優(yōu)等品，由此能求出高級(jí)技工甲生產(chǎn)三件產(chǎn)品，至少有2件優(yōu)等品的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為200，160，120，80，40，-40，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的頻率分布和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）甲生產(chǎn)一件產(chǎn)品為優(yōu)、良、差等次的概率分別為

4

10

，

5

10

，

1

10

，
乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品為優(yōu)、良、差等次的概率分別為

3

10

，

5

10

，

2

10

，
高級(jí)技工甲生產(chǎn)三件產(chǎn)品，至少有2件優(yōu)等品有兩種情況：
恰有2件優(yōu)等品或3件都是優(yōu)等品，
∴高級(jí)技工甲生產(chǎn)三件產(chǎn)品，至少有2件優(yōu)等品的概率：
P=（

4

10

）³+

C

2 3

(

4

10

)2(

6

10

)=

44

125

．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為200，160，120，80，40，-40，
P（X=200）=

4

10

×

3

10

=

12

100

，
P（X=160）=

4

10

×

5

10

+

3

10

×

5

10

=

35

100

，
P（X=120）=

5

10

×

5

10

=

25

100

，
P（X=80）=

4

10

×

2

10

+

3

10

×

1

10

=

11

100

，
P（X=40）=

5

10

×

2

10

+

5

10

×

1

10

=

15

100

，
P（X=-40）=

1

10

×

2

10

=

2

100

，
∴X的分布列為：

X	200	160	120	80	40	-40
P	12 100	35 100	25 100	11 100	15 100	2 100

EX=200×

12

100

+160×

35

100

+120×

25

100

+80×

11

100

+40×

15

100

-40×

2

100

=124（元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．