Question

1．若曲線f（x）=ax³-bx+4在x=1處的切線方程為9x+3y-10=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）（理）若方程f（x）=k有3個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（文）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)列出方程組求出a，b即可．
（2）（理）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，得到極值，推出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（文）通過求解導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的不等式，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：曲線f（x）=ax³-bx+4，則f′（x）=3ax²-b…（1分）
（1）9x+3y-10=0的斜率為-3，切點(diǎn)為$（1，\frac{1}{3}）$…．（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=3a-b=-3\\ f（1）=a-b+4=\frac{1}{3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=4\end{array}\right.$…（5分）
∴所求解析式為$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$…（6分）
（2）由（1）得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0∴x=-2或x=2…．（7分）
∴x∈（-∞，-2），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
x∈（-2，2），f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)…（理9分）  （文10分）
（文：∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-2），（2，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間為：（-2，2）…．（文）12分）
理：因此：當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值$-\frac{4}{3}$…..（11分）
且x→-∞，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，
∴由f（x）的圖象可知k的取值范圍為$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求解切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值，考查分析問題解決問題的能力．