Question

6．對(duì)于實(shí)數(shù)x∈（0，$\frac{π}{2}}$），f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$．
（I）f（x）≥t恒成立，求t的最大值；
（II）在（I）的條件下，求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集．

Answer 1

分析 （I）利用柯西不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）≥t恒成立，求t的最大值．
（II）在（I）的條件下，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（I）∵實(shí)數(shù)x∈（0，$\frac{π}{2}}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$=[${（\frac{1}{3sinx}）}^{2}$+${（\frac{2}{3cosx}）}^{2}$]•（sin²x+cosx²） $≥{（{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}）^2}=1$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{3sin}^{2}x}$=$\frac{2}{{3cos}^{2}x}$ 時(shí)，取等號(hào)，
所以f（x）的最小值為1，所以t≤1，即t的最大值為1．
（II）在（I）的條件下，|x+t|+|x-2|≥5，即，|x+1|+|x-2|≥5，
這個(gè)不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-（{x+1}）-（{x-2}）≥5\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{x+1-（x-2）≥5}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+（x-2）≥5}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥3，
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤-2或x≥3}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．