Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x，a∈R（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=2x+4平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到1-ae=2，解出即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）先得到lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂，方法一：．由${x_2}-{x_1}=ln{x_2}-ln{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$．設(shè)$\frac{x_2}{x_1}=t$，解得x₁，x₂，問題轉(zhuǎn)化為證明（t+1）lnt＞2（t-1）即可；
方法二：由lnx₁-x₁=lnx₂-x₂=lna，設(shè)g（x）=lnx-x-lna，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到0＜x₁＜1＜x₂，設(shè)h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），結(jié)合h（x）的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-ae^x…（2分）
由條件知f′（1）=2即1-ae=2，得a=-$\frac{1}{e}$…（4分）
（2）由（1）知f′（x）=1-ae^x，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在x∈R上恒成立，此時(shí)f（x）在R上單調(diào)增…（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0解得x=-lna
當(dāng)x＜-lna時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增，
當(dāng)x＞-lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)減…（8分）
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-lna），單調(diào)減區(qū)間為（-lna，+∞）…（10分）
（3）由（2）知，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＞0
由條件知${x_1}=a{e^{x_1}}，{x_2}=a{e^{x_2}}$，所以0＜x₁＜x₂．
可得lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂．
方法一：．故${x_2}-{x_1}=ln{x_2}-ln{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$．
設(shè)$\frac{x_2}{x_1}=t$，則t＞1，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={tx}_{1}}\\{{x}_{2}{-x}_{1}=lnt}\end{array}\right.$，解得x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$．
x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$…（12分）
要證：x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$＞2，即證明（t+1）lnt＞2（t-1），
即證明（t+1）lnt-2t+2＞0，
設(shè)g（t）=（t+1）lnt-2t+2（t＞1）…（14分）
g′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，令h（t）=g′（t），（t＞1），則h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
所以h（t）在（1，+∞）上單調(diào)增，g′（t）=h（t）＞h（1）=0，
所以g（t）在（1，+∞）上單調(diào)增，
 則g（t）＞g（1）=0．即t＞1時(shí)，（t+1）lnt-2t+2＞0成立，
所以x₁+x₂＞2．…（16分）
方法二：則lnx₁-x₁=lnx₂-x₂=lna，
設(shè)g（x）=lnx-x-lna，則x₁，x₂為g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，
$g'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，易得g（x）在（0，1）上單調(diào)增，在（1，+∞）上單調(diào)減，
所以0＜x₁＜1＜x₂…．．…（12分）
設(shè)h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），
則h（x）=lnx-ln（2-x）+2-2x（0＜x＜1），
h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2-x}$-2=$\frac{{2（x-1）}^{2}}{x（2-x）}$＞0恒成立，則h（x）在（0，1）上單調(diào)增，
所以h（x）＜h（1）=0，所以h（x₁）=g（x₁）-g（2-x₁）＜0，
即g（x₁）＜g（2-x₁），即g（x₂）＜g（2-x₁）…（14分）
又g（x）在（1，+∞）上單調(diào)減，x₂，2-x₁∈（1，+∞），所以x₂＞2-x₁，即x₁+x₂＞2（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．