Question

6．已知$P：?x∈R，{2^{-x}}+\frac{8}{{{2^{-x}}}}≥4\sqrt{2}，q：?{x_0}∈（0，+∞），{2^{x_0}}=\frac{1}{2}$，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． p是假命題
• B． q是真命題
• C． p∧（￢q）是真命題
• D． （￢p）∧q是真命題

Answer 1

分析 對于命題p：利用指數函數的性質、基本不等式的性質即可判斷出真假．對于命題q：當且僅當x₀=-1時，${2}^{-1}=\frac{1}{2}$，即可判斷出真假．

解答 解：對于命題p：?x∈R，2^-x＞0，∴${2}^{-x}+\frac{8}{{2}^{-x}}$≥2$\sqrt{{2}^{-x}•\frac{8}{{2}^{-x}}}$=4$\sqrt{2}$，當且僅當x=-$\frac{3}{2}$時取等號．
對于命題q：當且僅當x₀=-1時，${2}^{-1}=\frac{1}{2}$，因此q是假命題．
∴只有p∧（￢q）是真命題．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質、函數的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．