Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x₀的值；
（2）若$θ∈（0，\frac{π}{3}）$且滿足$f（2θ）=\frac{6}{5}$，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象可求得A，ω，及φ的值，從而可求得f（x）的解析式及x₀的值；
（2）由f（2θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，利用兩角和的正弦即可求得答案．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象可知A=2，$\frac{T}{2}$=2π，
∴$\frac{2π}{ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{2}$；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，而|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
又$\frac{1}{2}$x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴x₀=$\frac{2π}{3}$； 
（2）∵f（2θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，∵$θ∈（0，\frac{π}{3}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ=\frac{3}{5}}\\{\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得：cosθ=$\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．