Question

已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是.
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.

Answer 1

（I）；（II）時，函數(shù)有極值；
當時，有極大值；當時，有極小值.

解析試題分析：（I）涉及切線，便要求出切點.本題中切點如何求？函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是.說明切點就是直線與軸交點，所以令便得切點為(2,0).切點既在切線上又曲線，所以有, 即.
函數(shù)在切點處的導數(shù)就是切線的斜率，所以由已知有即.這樣便得一個方程組，解這個方程組求出 便的解析式.
（II）將求導得，，
令.這是一個二次方程，要使得函數(shù)有極值，則方程要有兩個不同的實數(shù)根，所以，由此可得的范圍.解方程有便得取得極值時的值.
試題解析：（ I）由已知,切點為(2,0), 故有, 即
又，由已知得
聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為  
（II）因為
令
當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解，                                           由，得.
①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值
②當m<1時,g'(x)=0有兩個實數(shù)根x₁= (2－), x₂= (2+), g(x),g'(x) 的情況如下表：

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