已知函數(shù)（，），．
（Ⅰ）證明：當時，對于任意不相等的兩個正實數(shù)、，均有成立；
（Ⅱ）記，
(ⅰ)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(ⅱ)證明：.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）(ⅰ)，(ⅱ) 詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）當時，對于任意不相等的兩個正實數(shù)、，均有成立，只需求出與的解析式，兩式作差得，判斷符號即可證明；（Ⅱ）記，若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍，首先求出的解析式，從而得，若它在上單調(diào)遞增，即它的導函數(shù)在上恒大于零，得恒成立，這是恒成立問題，只需把含有的放到不等式的一側(cè)，不含的放到不等式的另一側(cè)，即，轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，可利用導數(shù)求出最大值，從而可得實數(shù)的取值范圍. 證明：,因為,只需證它的最小值為,可利用導數(shù)證明它的最小值為即可.
試題解析：（Ⅰ）證明： ，
，
，則   ①
，則，②
由①②知．
（Ⅱ）（�。�，，
令，則在上單調(diào)遞增．
，則當時，恒成立，
即當時，恒成立．
令，則當時，，
故在上單調(diào)遞減，從而，
故．（14分）
（ⅱ）法一：，令，
則表示上一點與直線上一點距離的平方．
令，則，
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，
直線與的圖象相切與點，點到直線的距離為，
則，故．
法二：，
令，則．
令

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中
（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（I） 當，求的最小值；
（II） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（III）過點恰好能作函數(shù)圖象的兩條切線，并且兩切線的傾斜角互補，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某商場預(yù)計2014年從1月起前個月顧客對某種商品的需求總量（單位：件）
（1）寫出第個月的需求量的表達式；
（2）若第個月的銷售量（單位：件），每件利潤（單位：元），求該商場銷售該商品，預(yù)計第幾個月的月利潤達到最大值？月利潤的最大值是多少？（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為元,并且每件商品需向總店交元的管理費,預(yù)計當每件商品的售價為元時,一年的銷售量為萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤（萬元）與每件商品的售價的函數(shù)關(guān)系式;
（2）當每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為.
（I）求實數(shù)，的值；
（Ⅱ）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是.
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象與直線相切于點.
（1）求實數(shù)和的值； （2）求的極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，恒過定點．
（1）求實數(shù)；
（2）在（1）的條件下，將函數(shù)的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數(shù)，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，直接寫出的解析式；
（3）對于定義在上的函數(shù)，若在其定義域內(nèi)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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