Question

20．設(shè)f（x）為定義R在的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=$\frac{3x}{2}$；當(dāng)x＞2時(shí)，y=f（x）的圖象是頂點(diǎn)在p（3，4），且過(guò)點(diǎn)A（2，3）的拋物線的一部分．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f（x）的圖象，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（無(wú)需證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及偶函數(shù)f（x）=f（-x）的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由題意，當(dāng)x＞2時(shí)設(shè)f（x）=a（x-3）²+4，
帶入點(diǎn)A（2，3）得a=-1，
∴f（x）=-（x-3）²+4，
當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，當(dāng)0＜-x≤2時(shí)，
f（x）=f（-x）=-$\frac{3x}{2}$；
當(dāng)x＜-2時(shí)，-x＞2，
f（x）=f（-x）=-（-x-3）²+4=）=-（x+3）²+4，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x+3）^{2}+4，x＜-2\\-\frac{3x}{2}，-2≤x＜0\\ \frac{3x}{2}，0≤x≤2\\-（x-3）^{2}+4，x＞2\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)圖象如下圖所示：

有圖可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3]，[0，3]…（10分）
單調(diào)遞減區(qū)間為[-3，0]，[3，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．