分析 (1)an+1=2an-1,變形為an+1-1=2(an-1).利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出.
(2)由(1)可得:可得an=2n+1.${c_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=2$(\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1})$,利用“裂項求和方法”,及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 解:(1)∵an+1=2an-1,變形為an+1-1=2(an-1).∴bn+1=2bn.
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,公比為2,首項為2.
∴bn=2n.
前n項和Sn=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$=2n+1-1.
(2)由(1)可得:an-1=2n,可得an=2n+1.
${c_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=2$(\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1})$,
∴{cn}的前n項和Tn=2$[(\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1})$+$(\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1})$+…+$(\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1})]$
=2$(\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1})$,
∴T1≤Tn$<\frac{2}{3}$.
∴$\frac{4}{15}≤{T_n}<\frac{2}{3}$.
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和方法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x-y+2=0 | B. | x+y-1=0 | C. | x-y+1=0 | D. | x+y+2=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 10 | B. | 9 | C. | 8 | D. | 7 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 不充分也不必要條件 |
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A. | 7 | B. | -7 | C. | 12 | D. | -12 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (11,25) | B. | (12,16] | C. | (12,17) | D. | [16,17) |
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