Question

13．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，準(zhǔn)線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)M，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=12．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求$\frac{|PF|}{|PM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出寫(xiě)出，即可求此拋物線方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作PA垂直于準(zhǔn)線，A為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PA|，則$\frac{|PF|}{|PM|}$=$\frac{|PA|}{|PM|}$=sin∠PMA，故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PM|}$最�。�再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PM|}$的最小值．

解答 解：（I）因焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），所以直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
與拋物線y²=2px聯(lián)立，消去y得4x²-20px+p²=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=5p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=6p=12，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．（6分）
（Ⅱ）由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
過(guò)點(diǎn)P作PA垂直于準(zhǔn)線，A為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PA|，
則$\frac{|PF|}{|PM|}$=$\frac{|PA|}{|PM|}$=sin∠PMA，∠PMA為銳角．
故當(dāng)∠PMA最小時(shí)，$\frac{|PF|}{|PM|}$最小，
故當(dāng)PM和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PM|}$最小．
設(shè)切點(diǎn)P（a，2$\sqrt{a}$），則PM的斜率為$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=（2$\sqrt{x}$）′=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2$\sqrt{2}$sin∠PMA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與直線方程的綜合應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．屬于中檔題．