Question

8．已知函數(shù)f（x）=x|x|，存在x∈[1，a+1]時(shí)，使f（x²+a）＜4f（x）成立，則a的取值范圍是（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知函數(shù)的解析式易判斷出函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可將不等式f（x+2a）＞4f（x）可化為x+2a＞2x，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題后，易得答案．

解答 解：∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）=x|x|奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上增函數(shù)，
∵不等式f（x²+a）＜4f（x）可化為f（x²+a）＜4x•|x|=2x•|2x|=f（2x），
∴存在x∈[1，a+1]，不等式x²+a＜2x成立，
∴a＜-x²+2x=-（x-1）²+1＜1
∵a+1＞1，
∴a＞0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性質(zhì)的應(yīng)用，以及恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．