Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，|AB|的最小值為3，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，證明直線A′B恒過定點，并求此定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）判斷AB⊥x軸時，|AB|最小，推出$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，利用ABF₂的周長為4a，求解a，b，得到橢圓的方程．
（2）設(shè)AB方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A'（x₁，-y₁），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出A'B的斜率，求解直線方程，利用直線系求解直線結(jié)果的定點．

解答 解：（1）因為AB是過焦點F₁的弦，所以當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|最小，且最小值為$\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由題意可知$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，再由橢圓定義知，△ABF₂的周長為4a，所以$a=2，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
（2）設(shè)AB方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁），
則$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$②
則${k}_{A′B}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，∴A′B的方程為$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$．
化簡有$y=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）+2k}}{{{x_2}-{x_1}}}x-\frac{{2k{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
將①②代入可得$y=\frac{1}{{{x_2}-{x_1}}}（{\frac{6k}{{3+4{k^2}}}x+\frac{24k}{{3+4{k^2}}}}）=\frac{6k}{{（3+4{k^2}）（{x_2}-{x_1}）}}（{x+4}）$，
所以直線A′B恒過定點（-4，0）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，直線系方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．