Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x-2}$滿足f（4-x）+f（x）=2．
（Ⅰ）求a的值，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（3，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）若g（x）=|x+a|+|2x-3|，畫出函數(shù)g（x）的簡圖并求出該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）關(guān)于（2，1）對稱，即可求a的值，先將原函數(shù)變成f（x）=1+$\frac{3}{x-2}$，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)x₁＞x₂＞1，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（Ⅱ）g（x）=|x+1|+|2x-3|，即可畫出函數(shù)g（x）的簡圖并求出該函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（4-x）+f（x）=2，∴函數(shù)f（x）關(guān)于（2，1）對稱，
∵f（x）=$\frac{ax+1}{x-2}$=a+$\frac{2a+1}{x-2}$，
∴a=1，
∴f（x）=1+$\frac{3}{x-2}$，
證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞3，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
∵x₁＞x₂＞3；
∴x₂-x₁＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
（Ⅱ）g（x）=|x+a|+|2x-3|=|x+1|+|2x-3|，
函數(shù)g（x）的簡圖如圖所示，

該函數(shù)的值域[2.5，+∞）．

點評 考查分離常數(shù)法化簡函數(shù)解析式，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法及過程．