Question

4．函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0有意義且滿足條件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是增函數(shù)．
（1）求證：f（1）=0；
（2）若f（3）+f（4-8x）＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），結(jié)合題意可將f（3）+f（4-8x）≥2轉(zhuǎn)化為f（12-24x）≥f（4），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的定義域

解答 解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=2，y=1，則f（2×1）=f（2）+f（1），
又由f（2）=1，則f（1）=0；
（2）令x=2，y=2，則f（2×2）=f（4）=f（2）+f（2）=2，
所以f（3）+f（4-8x）=f（12-24x）≥f（4），
又f（x）為增函數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{4-8x＞0}\\{12-24x≥4}\end{array}\right.$解得：x$≤\frac{1}{3}$，

點評 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，解（2）的關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析出f（4）=2，進而用f（4）替換2，要注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．