Question

12．在?ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿著對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，則BD的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． 2
• B． 2或$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的加法，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，等式兩邊進(jìn)行平方，求出BD的長(zhǎng)度即可．

解答 解：∵∠ACD=90°，∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{CD}$=0．
同理$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=0．
∵AB和CD成60°角，∴＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°或120°．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=3+2×1×1×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞
∴|$\overrightarrow{BD}$|=2或$\sqrt{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查異面直線所成的角，以及數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．