Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+a與函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x的圖象上恰有三對關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{6}$）
• B． （$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）
• C． （-$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）
• D． （-$\frac{10}{3}$，-$\frac{7}{6}$）

Answer 1

分析 令f（x）=g（-x）可得a=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x，求出h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x的單調(diào)性和極值，從而可得出a的范圍．

解答 解：由題意可知f（x）=g（-x）有三解，
即a=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x有三解，
設(shè)h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x，則h′（x）=-x²+x+2，
令h′（x）=0可得x=-1或x=2．
∴當(dāng)x＜-1或x＞2時(shí)，h′（x）＜0．當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，h（x）取得極小值h（-1）=-$\frac{7}{6}$，當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得極大值$\frac{10}{3}$．
∴-$\frac{7}{6}$＜a＜$\frac{10}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，屬于中檔題．