Question

18．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，即得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x$-\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
當2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$，即x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\sqrt{3}$．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值為$-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．