Question

10．已知函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-4tx+4t²+t+$\frac{1}{t-1}$）（t∈R）的定義域R，且y的最大值為f（t），則f（t）的值域是$（-∞，lo{g}_{\frac{1}{2}}3]$．

Answer 1

分析 可設$g（x）={x}^{2}-4tx+4{t}^{2}+t+\frac{1}{t-1}$，容易求出該二次函數(shù)的最小值為$t+\frac{1}{t-1}$，并判斷出t＞1，從而據(jù)題意有$f（t）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（t+\frac{1}{t-1}）$，根據(jù)基本不等式可得出t+$\frac{1}{t-1}$的范圍，從而求出f（t）的值域．

解答 解：設$g（x）={x}^{2}-4tx+4{t}^{2}+t+\frac{1}{t-1}$；
g（x）的最小值為：$\frac{4（4{t}^{2}+t+\frac{1}{t-1}）-16{t}^{2}}{4}=t+\frac{1}{t-1}$＞0；
∴t＞1；
∴$f（t）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（t+\frac{1}{t-1}）$；
∵$t+\frac{1}{t-1}=（t-1）+\frac{1}{t-1}+1≥3$；
∴$f（t）≤lo{g}_{\frac{1}{2}}3$；
∴f（t）的值域是$（-∞，lo{g}_{\frac{1}{2}}3]$．
故答案為：$（-∞，lo{g}_{\frac{1}{2}}3]$．

點評 考查二次函數(shù)最值的計算公式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，減函數(shù)的定義，以及基本不等式的運用．