Question

17．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對(duì)角線MN過點(diǎn)C，已知AB=3米，AD=2米，記矩形AMPN的面積為S平方米．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系；
（i）設(shè)AN=x米，將S表示為x的函數(shù)；
（ii）設(shè)∠BMC=θ（rad），將S表示為θ的函數(shù)．
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求出S的最小值，并求出S取得最小值時(shí)AN的長度．

Answer 1

分析 （1）求出AN，AM，即可建立函數(shù)關(guān)系；
（i）設(shè)AN=x米，先求出AM的長，即可表示出矩形AMPN的面積；
（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM與AN的長度，即可表示出S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）選擇（ii）中的函數(shù)關(guān)系式，化簡，由基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴$\frac{DN}{BC}$=$\frac{DC}{BM}$，
∴$\frac{x-2}{2}=\frac{3}{BM}$，∴BM=$\frac{6}{x-2}$，
由于$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，則AM=$\frac{3x}{x-2}$   
∴S=AN•AM=$\frac{3{x}^{2}}{x-2}$，（x＞2）
（ii）在Rt△MBC中，tanθ=$\frac{BC}{MB}=\frac{2}{MB}$，∴MB=$\frac{2}{tanθ}$，∴AM=3+$\frac{2}{tanθ}$，
在Rt△CDN中，tanθ=$\frac{DN}{DC}=\frac{DN}{3}$，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，
∴S=AM•AN=（3+$\frac{2}{tanθ}$）•（2+3tanθ），其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$；
（2）選擇（ii）中關(guān)系式
∵S=AM•AN=（3+$\frac{2}{tanθ}$）•（2+3tanθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
∴S=12+9tanθ+$\frac{4}{tanθ}$≥12+2$\sqrt{9tanθ•\frac{4}{tanθ}}$=24，
當(dāng)且僅當(dāng)9tanθ=$\frac{4}{tanθ}$，即tanθ=$\frac{2}{3}$時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)AN=4
答：當(dāng)AN的長度為4米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小值為24m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查矩形的知識(shí)，是一道中檔題．