Question

已知圓M過兩點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA′、PB′是圓M的兩條切線，A′、B′為切點，求四邊形PA′MB′面積的最小值．

 

Answer 1

（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2

【解析】(1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2

(r>0)，根據(jù)題意得解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2)由題知，四邊形PA′MB′的面積為S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四邊形PA′MB′面積的最小值為S＝2＝2＝2