Question

13．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．曲線${C_1}\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$（α為參數(shù)）．曲線C₂$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)）．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l，曲線C₁，曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₁交于O、A兩點(diǎn)，與曲線C₂交于O、B兩點(diǎn)，射線θ=$\frac{2π}{3}$與直線l交于點(diǎn)C，求△CAB的面積．

Answer 1

分析 （1）首先將參數(shù)方程化為普通方程，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）把射線方程分別與曲線C₁，C₂的方程聯(lián)立解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得|AB|，再求出點(diǎn)C到直線AB的距離，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：x+y=4，化為極坐標(biāo)方程：ρcosθ+ρsinθ=4．
曲線${C_1}\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$（α為參數(shù)），化為普通方程：（x-1）²+y²=1，展開(kāi)為x²+y²-2x=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲線C₂$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)），化為普通方程：（x-2）²+y²=4，展開(kāi)為x²+y²-4x=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）射線θ=$\frac{π}{3}$即直線y=$\sqrt{3}$x（x≥0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，解得B$（1，\sqrt{3}）$．
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1．
射線θ=$\frac{2π}{3}$即直線$y=-\sqrt{3}x$（x≤0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得C$（-2-2\sqrt{3}，6+2\sqrt{3}）$．
點(diǎn)C到直線y=$\sqrt{3}$x的距離d=$\frac{|（-2-2\sqrt{3}）\sqrt{3}-（6+2\sqrt{3}）|}{2}$=6+2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×1×（6+2\sqrt{3}）$=3+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)及其極坐標(biāo)方程的方法、直線與圓相交問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．