Question

8．設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點．
（1）若p=2且∠BFD=90°時，求圓F的方程；
（2）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，設直線m與拋物線C的另一個交點為E，在y軸上求一點G，使得∠OGE=∠OGA．

Answer 1

分析 （1）求出圓的半徑，從而求出圓的方程；（2）由拋物線的定義得|AD|=|FA|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而求出m，代入拋物線進而求出G的坐標．

解答 解：（1）由已知得F（0，1），△BFD為等腰直角三角形，|BD|=4，
⊙F的半徑|FB|=2$\sqrt{2}$，
∴⊙F的方程是x²+（y-1）²=8；
（2）∵A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，
∴AB是⊙F的直徑，∠ADB=90°，
由拋物線的定義得|AD|=|FA|=$\frac{1}{2}$|AB|，
∴∠ABD=30°，m的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
①當m的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，直線m的方程是：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$px-p²=0，（△＞0），
解得：x₁=$\sqrt{3}$p，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，
不妨記A（$\sqrt{3}$p，$\frac{3}{2}$p），E（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{p}{6}$），并設G（0，y₀），
∵∠OGE=∠OGA，∴K_GE+K_GA=0，
即$\frac{{y}_{0}-\frac{3}{2}p}{-\sqrt{3}p}$+$\frac{{y}_{0}-\frac{p}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}p}$=0，解得：y₀=-$\frac{p}{2}$，
②當m的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，由圖象的對稱性可知G（0，-$\frac{p}{2}$），
綜上，點G的坐標是（0，-$\frac{p}{2}$）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查圖象的對稱性，是一道中檔題．