Question

9．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}$，且sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$，求角C的大��；
（2）若△ABC為銳角三角形，且A=$\frac{π}{4}$，a=2，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}$可得tanA=tanB，于是C=π-2A，代入sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$化簡可求得A；
（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面積S關(guān)于B的函數(shù)，求出B的范圍，得出S的范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴tanA=tanB，
∴A=B．
∴C=π-2A．
∵sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$，
∴sin²A（2+cos2A）=cos²A+$\frac{1}{2}$，
即（1-cos²A）（2cos²A+1）=cos²A+$\frac{1}{2}$，
解得cos²A=$\frac{1}{2}$，
∵A+B+C=π，A=B，∴A$＜\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
C=π-2A=$\frac{π}{2}$．
（2）由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{2}$，
∴b=2$\sqrt{2}$sinB，c=2$\sqrt{2}$sinC=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}-B$）=2sinB+2cosB．
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=2sin²B+2sinBcosB=sin2B-cos2B+1=$\sqrt{2}$sin（2B-$\frac{π}{4}$）+1．
∵△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{4}$＜2B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴2＜$\sqrt{2}$sin（2B-$\frac{π}{4}$）≤1+$\sqrt{2}$．
∴△ABC面積的取值范圍是（2，1+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．