Question

2．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，|AF|=2|FB|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若|AF|=$\frac{5}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D為橢圓C上一點，當△ABD面積取得最大值時，求D點的坐標．

Answer 1

分析 （I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＜0，y₂＞0，由|AF|=2|FB|，可得：-y₁=2y₂．設直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0，分別解得y₁，y₂，即可得出$e=\frac{c}{a}$．
（II）由|AF|=$\frac{5}{2}$，|AF|=2|FB|．可得|AB|=|AF|+|FB|=$\frac{15}{4}$，y₂-y₁=|AB|$sin\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}a^{2}}{3{a}^{2}+^{2}}$，又$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，b²=a²-c²，解得a，b，c，即可得出橢圓C的方程．
（III）當D點在平行于直線l的橢圓的切線上的切點處時，△ABD的面積最大，設切線方程為y=$\sqrt{3}$x+t，可得32x²+18$\sqrt{3}$tx+9（t²-5）=0，令△=0，解得t，即可得出x．

解答 解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＜0，y₂＞0，∵|AF|=2|FB|．
-y₁=2y₂．設直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0，
解得y=$\frac{-2\sqrt{3}^{2}±\sqrt{1′2^{4}{c}^{2}+12^{4}（3{a}^{2}+^{2}）}}{2（3{a}^{2}+^{2}）}$=$\frac{-\sqrt{3}^{2}c±2\sqrt{3}a^{2}}{3{a}^{2}+^{2}}$，
y₁=$\frac{-\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，y₂=$\frac{-\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
∴-$\frac{-\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$=2×$\frac{-\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$．
（II）∵|AF|=$\frac{5}{2}$，|AF|=2|FB|．∴|AB|=|AF|+|FB|=$\frac{5}{2}+\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
y₂-y₁=|AB|$sin\frac{π}{3}$=$\frac{15}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$=$\frac{4\sqrt{3}a^{2}}{3{a}^{2}+^{2}}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，b²=a²-c²，解得a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（III）當D點在平行于直線l的橢圓的切線上的切點處時，△ABD的面積最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+t（t＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，可得32x²+18$\sqrt{3}$tx+9（t²-5）=0，
令△=$（18\sqrt{3}t）^{2}$-4×32×9（t²-5）=0，解得t=4$\sqrt{2}$．
解得x=$-\frac{9\sqrt{6}}{8}$，y=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，∴D$（-\frac{9\sqrt{6}}{8}，\frac{5\sqrt{2}}{8}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、直線與橢圓相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．