Question

13．已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n≠1，且（a_n-a_n+1）g（a_n）=f（a_n）（n∈N^*）（1）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2n-1}{{4}^{n-1}（{a}_{n}-1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n≠1，且（a_n-a_n+1）g（a_n）=f（a_n）（n∈N^*），代入可得：（a_n-a_n+1）×4（a_n-1）=$（{a}_{n}-1）^{2}$，化為：a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），即可證明．
（2）由（1）可得：a_n-1=$（\frac{3}{4}）^{n-1}$．代入b_n=$\frac{2n-1}{{4}^{n-1}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n≠1，且（a_n-a_n+1）g（a_n）=f（a_n）（n∈N^*），
∴（a_n-a_n+1）×4（a_n-1）=$（{a}_{n}-1）^{2}$，
∴4（a_n-a_n+1）=a_n-1，
化為：a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{3}{4}$．
（2）解：由（1）可得：a_n-1=$（\frac{3}{4}）^{n-1}$．
b_n=$\frac{2n-1}{{4}^{n-1}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{2n-1}{{4}^{n-1}×（\frac{3}{4}）^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$1+2（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=$2×\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-1-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=2-$\frac{2n+2}{{3}^{n}}$，
化為：T_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．