Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁，2²，a₂，2⁴，..，a_n，2²ⁿ，…成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n和，若S_k≥30（2^k+1），整數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，得出2²，2⁴，…，2²ⁿ成等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)與公比，寫出通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）寫出數(shù)列{a_n}的前n和S_n，利用不等式S_k≥30（2^k+1），求出不等式解集中整數(shù)k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁，2²，a₂，2⁴，..，a_n，2²ⁿ，…成等比數(shù)列；
∴2²，2⁴，…，2²ⁿ也成等比數(shù)列，且公比為q²=$\frac{{2}^{4}}{{2}^{2}}$=4；
∴q=2，
∴a₁=$\frac{{2}^{2}}{2}$=2；
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比為4的等比數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為a_n=2•4^n-1=2^2n-1；
（Ⅱ）∵S_n為數(shù)列{a_n}的前n和，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2×（1{-4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）=$\frac{2}{3}$（2²ⁿ-1），
又S_k≥30（2^k+1），
即$\frac{2}{3}$（2^2k-1）≥30（2^k+1），
化簡(jiǎn)得2^2k-45•2^k-46≥0，
解得2^k≥46或2^k≤1（不合題意，舍去）；
∴k≥6，
即整數(shù)k的最小值是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n和公式的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．