Question

3．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a，b為非零實常數(shù)．
（1）f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，f（x）的最大值為$\sqrt{10}$，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=$\frac{π}{6}$是f（x）的圖象的一條對稱軸，求x₀的值，使其滿足f（x₀）=$\sqrt{3}$，且x₀∈[0，2π]．

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可得a+b=2，又f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{a}$，f（x）的最大值為$\sqrt{10}$，可得：$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，聯(lián)立即可解出a，b的值．
（2）由a=1，可得f（x）=$\sqrt{1+^{2}}$sin（x+φ），其中tanφ=b，由題意$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ，根據(jù)tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$=b，可求φ，由f（x₀）=$\sqrt{3}$，解得：x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
結(jié)合范圍x₀∈[0，2π]，即可得解．

解答 解：（1）∵f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）=$\sqrt{2}$，
∴a+b=2，①
∵f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$（$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$sinx+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{\;}}}$cosx）
=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{a}$，
∴f（x）的最大值為$\sqrt{10}$，可得：$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$．②
∴聯(lián)立①②可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
（2）∵a=1，
∴可得：f（x）=sinx+bcosx=$\sqrt{1+^{2}}$sin（x+φ），其中tanφ=b，
∵根據(jù)直線x=$\frac{π}{6}$是其圖象的一條對稱軸，可得$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ=kπ+$\frac{π}{3}$，
∴tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=b，
故φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x₀）=$\sqrt{3}$，可得：2sin（x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，解得：x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
解得：x₀=2kπ，或x₀=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵x₀∈[0，2π]．
∴x₀=0或$\frac{π}{3}$或2π．

點評 本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及輔助角公式和三角函數(shù)的最值，屬中檔題．