Question

10．心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？
（Ⅱ）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5-7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
附表及公式：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）計算K²，對照附表做結論；
（2）作出甲，乙兩人解答時間的平面區(qū)域，找出乙比甲早做完對于的區(qū)域，則區(qū)域面積的比值即為所求概率；
（3）使用組合數(shù)公式和古典概型的概率計算公式分別計算X取不同值時的概率，得到X的分布列，求出數(shù)學期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值K²=$\frac{50（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$=$\frac{50}{9}≈5.556$＞5.024．
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．
（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，
則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如圖所示）．

設事件A為“乙比甲先做完此道題”
則滿足的區(qū)域為x＞y．
∴P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$
即乙比甲先解答完的概率為$\frac{1}{8}$．
（3）在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28 種，
其中甲、乙兩人都不被被抽到有${C}_{6}^{2}$=15種；恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}$•${C}_{6}^{1}$=12種；兩人都被抽到有${C}_{2}^{2}$=1種．
X可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的統(tǒng)計思想，幾何概型的概率計算，離散性隨機變量的分布列和數(shù)學期望．