Question

4．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）運用向量模的公式，結(jié)合特殊角正弦函數(shù)值；
（2）運用向量數(shù)量積的定義和二倍角公式，兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求最值．

解答 解：（1）向量 $\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3si{n}^{2}x+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{4si{n}^{2}x}$，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$=1，
即有2sinx=1，解得x=$\frac{π}{6}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值1；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時，f（x）取得最小值-1，
則f（x）的值域是[-1，1]．

點評 本題考查向量數(shù)量積的運用，考查三角函數(shù)恒等變換，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．