Question

1．若不等式$\frac{{x}^{2}-8x+20}{m{x}^{2}+2（m+1）x+9m+4}$＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，對(duì)m討論，當(dāng)m=0，m＞0，判別式小于0，m＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，
可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，2x+4＞0，解得x＞-2，不恒成立；
當(dāng)m＞0，判別式4（m+1）²-4m（4+9m）＜0，
解得m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{2}$，即有m＞$\frac{1}{4}$成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，不恒成立．
綜上可得m的范圍是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和二次不等式的解法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．