Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記.若對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，求k的取值范圍；

（3）已知集合.若以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為，問是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意的均有.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意結(jié)合數(shù)列與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解；

（2）由題意結(jié)合無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式可得，轉(zhuǎn)化條件為恒成立，按照n是偶數(shù)、n是奇數(shù)分類，根據(jù)單調(diào)性與極限求得的最小值即可得解；

（3）由題意，按照、分類；當(dāng)時(shí)，由不成立可排除；當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性結(jié)合極限可得，進(jìn)而可得，即可得解.

（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，兩式相減變形得：.

又時(shí)，即，于是，

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，

；

（2）由題意，，

所以恒成立，

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是n的增函數(shù)，于是，故，

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是n的減函數(shù)，因?yàn)?/span>，故，

綜上所述，k的取值范圍是；

（3）由題意，

①當(dāng)時(shí)，，

，若，則，

得，此不等式組的解集為空集，

即當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a；

②當(dāng)時(shí)，，

而是關(guān)于n的增函數(shù)，，

且，故，

因此對(duì)任意的，要使，只需，解得；

綜上，a的取值范圍為.