分析 (I)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f(x)的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值.
(II)由條件求得sin(x-$\frac{π}{6}$),再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)求得cos(x-$\frac{π}{6}$)的值,利用兩角和的正弦公式求得sinx=sin[(x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{6}$]的值.
解答 解:(I)由題意f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$-cos2$\frac{x}{2}$+1
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1+cosx}{2}+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}$=$sin({x-\frac{π}{6}})+\frac{1}{2}$,
∵$x∈[{\frac{π}{2},π}]$,∴$\frac{π}{3}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{5}{6}π$,∴$x-\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$,
即x=π時(shí),f(x)min=1.
(II)$f(x)=\frac{11}{10}$,即$sin({x-\frac{π}{6}})+\frac{1}{2}=\frac{11}{10}$,得$sin({x-\frac{π}{6}})=\frac{3}{5}$.
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$,∴$-\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$,∴$cos({x-\frac{π}{6}})=\frac{4}{5}$,
∴$sinx=sin({x-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}})=sin({x-\frac{π}{6}})•\frac{{\sqrt{3}}}{2}+cos({x-\frac{π}{6}})•\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于中檔題.
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A. | (0,$\frac{1}{2}$) | B. | ($\frac{1}{2}$,+∞) | C. | ($\frac{1}{3}$,1) | D. | (3,+∞) |
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A. | 45 | B. | -45 | C. | 1335 | D. | -1335 |
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