Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷求解即可；
（2）利用單調(diào)增函數(shù)的定義判斷證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$，
的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），$f（-x）=-x-\frac{1}{-x}=-（x-\frac{1}{x}）=-f（x）$
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（2）證明：x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}-\frac{1}{x_2}-（{x_1}-\frac{1}{x_1}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1+{x_1}{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{x_1}＞0\\ 1+{x_1}{x_2}＞0\\{x_1}{x_2}＞0\end{array}\right.⇒f（{x_2}）-f（{x_1}）＞0$，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判斷與證明，是基本知識(shí)的考查．