Question

8．給定如下命題
①在△ABC中，BC=2，AC=3，$∠B=\frac{π}{3}$，則△ABC是銳角三角形；
②若變量x，y線性相關(guān)，其回歸方程為$\widehat{y}+x=2$，則x，y正相關(guān)；
③若命題p：?x≥0，x²+x≥0，則￢p：?${x}_{0}＜0，{x}_{0}^{2}+{x}_{0}＜0$；
④將長為8的鐵絲圍成一個矩形框，則該矩形面積大于3的概率為$\frac{1}{2}$；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，則$\frac{a-b}＞\frac{c}{b-c}$．其中正確命題是①④⑤（只填序號）

Answer 1

分析 利用余弦定理求出最大邊，再求出最大邊所對角的余弦值判斷①；
由回歸方程為$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}$=2-x，可知回歸系數(shù)小于0，得x，y負(fù)相關(guān)，判斷②；
直接寫出全稱命題的否定判斷③；
列式求出滿足矩形面積大于3的矩形邊長的范圍，由幾何概型概率公式求出矩形面積大于3的概率判斷④；
利用不等式的性質(zhì)判斷⑤．

解答 解：①在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$，
即3²=2²+AB²-2×2×$\frac{1}{2}$AB，解得AB=1+$\sqrt{6}$＞3，則AB為最大邊，
而cos∠C=$\frac{9+4-（1+\sqrt{6}）^{2}}{2×2×3}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$＞0，則△ABC是銳角三角形．故①正確；
②若變量x，y線性相關(guān)，回歸方程為$\widehat{y}+x=2$，即$\widehat{y}$=2-x，則x，y負(fù)相關(guān)．故②錯誤；
③若命題p：?x≥0，x²+x≥0，則?p：?x₀≥0，x₀²+x₀＜0．故③錯誤；
④設(shè)矩形的一邊長度為xcm，則另一邊長度為（4-x）cm，因此x的取值范圍是0＜x＜4，
由矩形的面積S=x（4-x）＞3．由x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于3的概率P=$\frac{3-1}{4-0}$=$\frac{1}{2}$．故④正確；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，則b-c＞a-b＞0，可得$\frac{1}{a-b}$＞$\frac{1}{b-c}$＞0，則$\frac{a-b}$＞$\frac{c}{b-c}$．故⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，訓(xùn)練了幾何概型的求法，考查了不等式的性質(zhì)，是中檔題．